次を満たす実数の集合上の写像 $\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ を考えます。 \begin{eqnarray} \psi(a) &=& \frac{1}{a}\ \ (a&\ne&0), \newline \psi(a) &=& a\ \ \ (a&=&0). \end{eqnarray} すなわち，$\psi(0)=0$ です。この $\psi$ は全単射ま…

前回では，通分約分を仮定せずに0除算を考えれば，その演算結果は常に0となることを述べました。同様のことをいろんな視点から導くことができます。最も簡単なものは，奇関数 $f(x)=\dfrac{a}{x}$ を用いるものです。奇関数とは，$f(-x)=-f(x)$ を満たす関数…

通分約分を仮定する限り0除算はできないことを述べました。それでは通分約分を仮定しないとき，0除算はどうなるのか。答えは次の定理です。 高橋の一意性定理([1]). 実数の集合$\mathbb{R}$, $a,b,c,d\in\mathbb{R}$に対して，次を満たす写像 $f: \mathbb{R}…

0除算と通分約分は相性が悪いことを述べてきました。今回は通分約分を別の角度から考えます。 通分約分ができることと次式が成り立つことは同値です。 \begin{equation}\tag{1} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \end{equation} なぜなら，通分約分…