0除算導入により、$\tan90^{\circ}=0$ を得ました。その場合に、正接の加法定理の式 $$ \tan(\theta_1+\theta_2)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}\tag{1} $$ について考えます。例えば，$\theta_1=90^{\circ}$, $\theta_2=60^{\circ}$ のときは， 0除算定義 $1/0=0$ では左辺は $$ \tan(\theta_1+\theta_2)=\tan150^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}, $$ 右辺は $$ \frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac{0+\sqrt{3}}{1-0\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{3} $$ となり，左辺 $\ne$ 右辺となってしまいます。
それゆえ，(1) をアップデートする必要がありますが，(1) の両辺の逆数を考え，右辺の分子分母を$\tan\theta_1\tan\theta_2$で割った次の式が0除算導入後も有効な正接の加法定理の式になります。 $$ \frac{1}{\tan(\theta_1+\theta_2)}=\dfrac{\dfrac{1}{\tan\theta_1\tan\theta_2}-1}{\dfrac{1}{\tan\theta_1}+\dfrac{1}{\tan\theta_2}} $$
逆数の定義の更新でも述べましたが，この例のように分数にして考えるのは， 0除算導入後の世界では大変有効です。
