反転

円を用いた反転という変換があります。平面上の円 $C$ の中心を$O$, 半径を $r$ とします。ある点 $P$ と,$O$ を起点とする半直線 $OP$ 上の点で, $$|OP|\cdot |OQ|=r^{2}\tag{1}$$ を満たす点 $Q$ に関して,写像 $P\rightarrow Q$ を円 $C$ に関する反転と呼びます。 f:id:hoinori:20210426071240j:plain しかし,現在の数学では,$P=O$ の場合が考察できず,この場合を除外しています。しかし,0除算を導入し,(1)を次式のようにします。 $$ |OQ|=\frac{r^{2}}{|OP|} $$ すると,$P=O$ のときに対応する点は $P$ 自身であることになり,例外がなくなります。