2024-04-13

SnowflakeのDIV0NULL関数

Snowflakeとは大規模データを処理するための日本製のプラットホームらしいです。そのSnowflakeになんと0除算が採用されているとのことです。勿論、我々が主張している$1/0=0$と同じものです。以下のサイトに解説があるので、見てみましょう。

dev.classmethod.jp

ここに次の記述がります。

一言でいうと、除算（割り算）を行う場合、分母が「0」や「NULL」であってもエラーやNULLを返すことなく、「0」を返す関数です。

これ以外にも以下のサイトにあるように０で割ると０を返す関数があるのですが、現在のところ違いがよくわかりません。 docs.snowflake.com

いずれにせよ、すばらしいですね。

2024-02-28

酷い例

０除算をめぐる誤った主張のなかで、一番酷いと思われるのは $1/0=\infty$ です。

その理由は、先ずは良く定義されてもいない $\infty$ を持ち出していることです。

次に $\infty$ を持ち出す主張は連続性を仮定していると思われます。すなわち、以下のように考えたと思われます。

$x$が０に近くなれば、 $1/x$ はいくらでも大きい値をとる。よって、 $x=0$ でこの関数が連続なら、 $1/x=\infty$ と考えてよいだろう。

2024-01-01

謹賀新年

Googleでも我々の主張する０除算を取り上げるようになってきました。本年は０除算が広く認知される年になりそうです。

2023-10-25

算学小筌にあるアルベロスの問題

線分 $AB$ 上の点 $C$ について、 $|BC|=2a$ , $|CA|=2b$ とし、 $BC$ , $CA$ , $AB$ を直径とする円をそれぞれ $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ とします。 3円に囲まれた2つの合同な図形はそれぞれアルベロスと呼ばれます。ここでは算学小筌にあるアルベロスに関する次の問題を考えます。問題([1]). $\delta$ は $\alpha$ に外接し $\gamma$ に内接する半径 $d$ の円で、 $\varepsilon$ は $\beta$ に外接し $\gamma$ に内接する半径 $e$ の円である。この2円が外接するとき、次式が成り立つことを示せ。 $e=\dfrac{a(a+b)^{2}(b-d)}{(a+b)^{2}b-(a-b)^{2}d}.\tag1$

解答

先ずは、この問題の解答を与えます。点 $C$ が原点で点 $B$ の座標が $(2a,0)$ となる座標系で考えます。円 $\delta$ と $\varepsilon$ の中心の座標をそれぞれ、 $(x_d,y_d)$ , $(x_e,y_e)$ とします。 $\delta$ の中心から $\alpha$ と $\gamma$ の中心への距離の平方は

$(x_d − a)^{2} + y_d^{2} = (a + d)^{2},\tag2$

$(x_d − (a − b))^{2} + y_d^{2} = (a + b − d)^{2}\tag3$

となります。同様に $\varepsilon$ の中心から $\beta$ と $\gamma$ の中心への距離の平方は

$(x_e + b)2 + y_e^{2} = (b + e)^{2},\tag4$

$(x_e − (a − b))^{2} + y_e^{2} = (a + b − e)^{2}\tag5$

となります。 $\delta$ と $\varepsilon$ の中心の距離の平方は次式で与えられます。

$(x_d − x_e)^{2} + (y_d − y_e)^{2} = (d + e)^{2}.\tag6$

(2), (3), (4), (5), (6)から $x_d$ , $y_d$ , $x_e$ , $y_e$ を消去すると、次式が得られます。

$\dfrac{ab}{ed}-\left(\dfrac{a}{e}+\dfrac{b}{d}\right)+\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^{2}=0.\tag7$

これを $e$ について解き、(1)を得ます。

$(d,e)=(0,a)$ となる場合

直線を半径0の円,直交する図形を接する図形と考えることができることを以前に述べました。 hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com これらを考慮するとき、2円 $\delta$ と $\varepsilon$ として、(1)や(7)からどんなものが導かれるのかを考えます([2])。先ず(1)より次式を得ます。

$a-e=\dfrac{4a^{2}b}{(a+b)^{2}b-(a-b)^{2}d}d.\tag7$

これより、 $a=e$ から $d=0$ を得ます。よって、 $\alpha=\varepsilon$ で $\delta$ は点円か直線です。 $\delta$ は $\alpha$ と $\gamma$ に接するので、点 $B$ , 直線 $AB$ と $B$ における $\gamma$ の接線のいずれかと一致すると考えられます。これらを下図では $\delta_1$ , $\delta_2$ , $\delta_3$ で表しています。ただし、 $\delta$ は点または直線なので、問題文にある「内接する」と「外接する」は単に「接する」と読み替えています。

$(d,e)=(b,0)$ となる場合

同様に、 $(d,e)=(b,0)$ となる場合を考察します。この場合には、 $\beta=\delta$ で、 $\varepsilon$ は点円か直線です。 $\varepsilon$ は $\beta$ と $\gamma$ に接するので、点 $A$ , 直線 $AB$ と $A$ における $\gamma$ の接線のいずれかと一致すると考えられます。これらを下図では $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ , $\varepsilon_3$ で表しています。

$(d,e)=(b,a)$ となる場合

さて、(7)より次式を得ます。

$\left(\dfrac{a}{e}-1\right)\left(\dfrac{b}{d}-1\right)=\dfrac{4ab}{(a+b)^{2}}$ .

これより、次式を得ます。

$\left(\dfrac{a}{e}-1\right)=\dfrac{4ab}{(a+b)^{2}}\Biggr/\left(\dfrac{b}{d}-1\right)$ .

ここで、 $\dfrac{w}{z}=0$ と $w=0$ または $z=0$ が同値であることに注意すると、 $a=e$ から $b=d$ が導かれます。すなわり、 $\alpha=\varepsilon$ なら、 $\beta=\delta$ となります（下図）。

[1] 牛島盛庸, 算学小筌, 1794, 東北大学デジタルコレクション.

[2] H. Okumura, The arbelos in Wasan geometry: a problem in Sangaku Shosen, Sangaku J. Math., 5 (2021), pp. 39-42. https://www.researchgate.net/publication/354854485_The_arbelos_in_Wasan_geometry_a_problem_in_Sangaku_Shosen

2023-10-19

0除算算法による幾何学の考察例 1の改訂版

以前に述べた0除算算法に関する以下の記事の改訂版を述べます。 hoinori.hatenablog.com 先ずは0除算算法の復習から。次の定義を0除算算法と呼びます。

関数 $f(x)$ の $x=a$ における値を $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n(x-a)^{n}$ とべき級数展開するとき、 $f(a)=C_0$ と定義する。

さて、 $AB$ が直径、中心が $O$ の円を $\alpha$ とします。半径を $｜AO｜=a$ とし、これと $AB$ に平行な直線が2点 $P, Q$ で交わっています。ただし、 $O$ が原点 $A$ の座標が $'(a,0)$ となる座標で考え、 $P$ が第一象限にあると仮定します。さらに、2直線 $AB, PQ$ の距離を $s$ とします。

直線 $PQ$ 上の点 $Z$ に対して、 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にあるときは、 $\delta_z$ を $PQ$ に $Z$ で接し、 $\alpha$ の劣弧 $PQ$ に内接する円とします。 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にないときは、 $PQ$ に $A$ と同じ側から $Z$ で接し、 $\alpha$ に外接する円とします(下図)。 $Z$ の座標を $(z,b)$ , $\delta_z$ の半径と中心の座標をそれぞれ $r$ , $(z,w)$ とします。

さて、 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にあると仮定します。2円 $\alpha$ と $\delta_z$ の中心の距離の平方は $z^{2}+w^{2}=(a-r)^{2}\tag 1$ となります。これに $w=b+r\tag 2$ を代入した式を $r$ について解いて、次式を得ます。 $r=\dfrac{a^{2}-b^{2}-z^{2}}{2(a+b)}\tag 3$ 以上より、(3)を前提にして、 $\delta_z(x,y)=(x-z)^{2}+(y-(b+r))^{2}-r^{2}$ とするとき、 $\delta_z$ は次式で表されます。 $\delta_z(x,z)=0.\tag4$

次に、 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にないと仮定します。この場合に、 $z^{2}+w^{2}=(a+r)^{2}$ , $w=b-r$ が成立しますが、これは(1)と(2)において $r$ の符号を変更することにより得られます。ですから、この場合には $r$ はマイナスの符号をもつとすれば、この場合にも $\delta_z$ は(4)で表されます。すなわち、いずれの場合にも $\delta_z$ は(3)を前提にして、(4)で表されます。

そこで、 $\delta_z(x,y)$ の $z=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ におけるべき級数(Laurent)展開を考えます。次のようになります。

${\begin{align} \delta_z(x,y)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n\left(z-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{n}=\left((x-\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}+(y-b)^{2}\right)\\ +2\left(\dfrac{-\sqrt{a+b}x+\sqrt{a-b}y+a\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}\right)\left(z-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right) \\ +\left(\dfrac{a+y}{a+b}\right)\left(z-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right) ^{2}. \end{align}}$

すなわち、 $n\ne 0, 1, 2$ なら $C_n=0$ となります。それ以外の $n$ については、以下を得ます。

$C_0=\left(x-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{2}+(y-b)^{2},\tag5\nonumber$

$C_1=2\left(\dfrac{-\sqrt{a+b}x+\sqrt{a-b}y+a\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}\right),\tag6\nonumber$

$C_2=\dfrac{a+y}{a+b}.\tag7\nonumber$

よって、 $C_0=0$ は点 $P$ を表します。 $C_1=0$ は直線 $PR$ を表します。ただし、 $R$ は優弧 $PQ$ の中点です。また。 $C_2=0$ は $R$ における $\alpha$ の接線です。これらの図形を下図では赤で表しています。ここで、点 $P$ と $R$ における $\alpha$ の接線は、ともに $\alpha$ と $PQ$ に接すると考えることができます。直線 $PR$ はこれらと交わりますが、これらと同じ角度で交わります。

以上が０除算算法による考察です。直線 $PR$ や $R$ における $\alpha$ の接線が点 $P$ に深く関連する図形であることには否定できない事実であると思われます。しかし、なぜそのような図形が登場するのかについては説明が現時点ではできません。いずれにせよ、この例だけでも、０除算算法の凄さがかいま見られる思いがします。

2023-09-21

Hövel Wolfhard 氏による1辺の長さが0の長方形の記事

納得できない部分があるので、非公開にしました。

2023-08-14

一般化されたアルベロスの合同な円群

0除算

線分 $AB$ 上の一点 $C$ について、直径が $CB$ , $CA$ , $AB$ の半円を $AB$ の同じ側に作るとき、３半円の囲む図形をアルベロスと呼びます。これは以前にも考えました。$C$における $AB$ の垂線でアルベロスを分割するとき、それらの内接円は合同であることが知られていますが（図1の赤円）、これらはアルキメデスが研究したと考えられており、アルキメデスの双子の円と呼ばれます。今回はアルベロスを一般化して、そこに複数の合同な円が存在することを示します。

一般化したアルベロス

先ず、一般化したアルベロスを定義します。直線 $AB$ 上の2点$P$, $Q$ に対して、$PQ$を直径とする半円を$(PQ)$で表します。このような半円はすべて $AB$ の同じ側にあるものとします。 $(AB)$ , $(A_1B_1)$, $(A_2B_2)$ が同心のとき、線分 $AB$ 上の点$C$に対して、5個の半円 $\alpha_1=(CB_1)$, $\beta_1=(CA_1)$, $\alpha_2=(CB_2)$, $\beta_2=(CA_2)$, $\gamma=(AB)$ からなる図を考えます（図2）。$A=A_1=A_2$ならアルベロスが得られます。

次の定理を得ました。

定理. 2円$\delta_a$と$\delta_b$が接することなく、次の条件を満たせば、合同である。

(i) $\delta_a$ と $\delta_b$ は $\gamma$ に内接する。または $\delta_a$ と $\delta_b$ は $\gamma$ に外接する。

(ii) $\delta_a$ と $\alpha_1$ は内接し、 $\delta_b$ と $\beta_1$ も内接する。または、 $\delta_a$ と $\alpha_1$ は外接し、 $\delta_b$ と $\beta_1$ も外接する。

(iii) $\delta_a$ と $\alpha_2$ は内接し、 $\delta_b$ と $\beta_2$ も内接する。または、 $\delta_a$ と $\alpha_2$ は外接し、 $\delta_b$ と $\beta_2$ も外接する。

この定理を考えるとき、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{A_iB_i}$が同じ向きか否か、$\delta_a$と$\alpha_i$が内接か外接か、$\delta_a$と $\gamma$ が内接か外接かで場合分けすると、全部で$2^{5}=32$通りの場合があります。ここでは、この定理の証明は省略し、合同な２円が得られる場合を図3から図7で示します。

直線となる場合

さて、図5と図7に注目してください。図5ではすべて外接の状態、図7ではすべて内接の状態です。ここで、2円 $\delta_a$ と $\delta_b$ の半径が増加する場合を考えると、2円が直線になる場合がありそうです（図8）。 $|CB|=2a$ , $|CA|=2b$ , $|CB_i|=2a_i$ , $|CA_i|=2b_i$ とするとき、 $\delta_a$ , $\delta_b$ の半径 $r_a$, $r_b$は、図5については、次式で与えられます。 $$ r_a=\frac{ab(a_1+a_2)}{-aa_2+a_1(a_2-b)}=\frac{ab(b_1+b_2)}{-ab_1+b_1(b_1-b)}=r_b $$ 図7については、次式で与えられます。同じ分数式ですが、マイナスの符号が付きます。 $$ r_a=-\frac{ab(a_1+a_2)}{-aa_2+a_1(a_2-b)}=-\frac{ab(b_1+b_2)}{-ab_1+b_1(b_1-b)}=r_b $$ さて、それでは2円が直線になる場合を考えましょう。以下の以前の投稿を思い出してください。 hoinori.hatenablog.com すなわち、直線の円としての半径は0なので、 $$ \frac{ab(a_1+a_2)}{-aa_2+a_1(a_2-b)}=\frac{ab(b_1+b_2)}{-ab_1+b_1(b_1-b)}=０ $$ のときに２円は直線になります。分子は正なので、上式は次と同値です。 $$ -aa_2+a_1(a_2-b)=-ab_1+b_1(b_1-b)=０ $$ これを、 $a$ と $b$ について解くと、次式が得られます。これより、 $A_1$ , $B_1$ , $A_2$ , $B_2$ を与えるとき、 $\delta_a$ と $\delta_b$ が直線となる $A$ と $B$ を求めることができます。 $$ (a,b)=\left(\frac{a_1b_2(b_1-a_2)}{a_1b_1-a_2b_2},\frac{a_2b_1(a_1-b_2)}{a_1b_1-a_2b_2}\right) $$