0除算算法による幾何学の考察例 1の改訂版

以前に述べた0除算算法に関する以下の記事の改訂版を述べます。 hoinori.hatenablog.com 先ずは0除算算法の復習から。次の定義を0除算算法と呼びます。

関数 $f(x)$ の $x=a$ における値を $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n(x-a)^{n}$ とべき級数展開するとき、 $f(a)=C_0$ と定義する。

さて、 $AB$ が直径、中心が $O$ の円を $\alpha$ とします。半径を $｜AO｜=a$ とし、これと $AB$ に平行な直線が2点 $P, Q$ で交わっています。ただし、 $O$ が原点 $A$ の座標が $'(a,0)$ となる座標で考え、 $P$ が第一象限にあると仮定します。さらに、2直線 $AB, PQ$ の距離を $s$ とします。

直線 $PQ$ 上の点 $Z$ に対して、 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にあるときは、 $\delta_z$ を $PQ$ に $Z$ で接し、 $\alpha$ の劣弧 $PQ$ に内接する円とします。 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にないときは、 $PQ$ に $A$ と同じ側から $Z$ で接し、 $\alpha$ に外接する円とします(下図)。 $Z$ の座標を $(z,b)$ , $\delta_z$ の半径と中心の座標をそれぞれ $r$ , $(z,w)$ とします。

さて、 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にあると仮定します。2円 $\alpha$ と $\delta_z$ の中心の距離の平方は $z^{2}+w^{2}=(a-r)^{2}\tag 1$ となります。これに $w=b+r\tag 2$ を代入した式を $r$ について解いて、次式を得ます。 $r=\dfrac{a^{2}-b^{2}-z^{2}}{2(a+b)}\tag 3$ 以上より、(3)を前提にして、 $\delta_z(x,y)=(x-z)^{2}+(y-(b+r))^{2}-r^{2}$ とするとき、 $\delta_z$ は次式で表されます。 $\delta_z(x,z)=0.\tag4$

次に、 $Z$ が $P$ と $Q$ の間にないと仮定します。この場合に、 $z^{2}+w^{2}=(a+r)^{2}$ , $w=b-r$ が成立しますが、これは(1)と(2)において $r$ の符号を変更することにより得られます。ですから、この場合には $r$ はマイナスの符号をもつとすれば、この場合にも $\delta_z$ は(4)で表されます。すなわち、いずれの場合にも $\delta_z$ は(3)を前提にして、(4)で表されます。

そこで、 $\delta_z(x,y)$ の $z=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ におけるべき級数(Laurent)展開を考えます。次のようになります。

${\begin{align} \delta_z(x,y)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n\left(z-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{n}=\left((x-\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}+(y-b)^{2}\right)\\ +2\left(\dfrac{-\sqrt{a+b}x+\sqrt{a-b}y+a\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}\right)\left(z-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right) \\ +\left(\dfrac{a+y}{a+b}\right)\left(z-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right) ^{2}. \end{align}}$

すなわち、 $n\ne 0, 1, 2$ なら $C_n=0$ となります。それ以外の $n$ については、以下を得ます。

$C_0=\left(x-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{2}+(y-b)^{2},\tag5\nonumber$

$C_1=2\left(\dfrac{-\sqrt{a+b}x+\sqrt{a-b}y+a\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}\right),\tag6\nonumber$

$C_2=\dfrac{a+y}{a+b}.\tag7\nonumber$

よって、 $C_0=0$ は点 $P$ を表します。 $C_1=0$ は直線 $PR$ を表します。ただし、 $R$ は優弧 $PQ$ の中点です。また。 $C_2=0$ は $R$ における $\alpha$ の接線です。これらの図形を下図では赤で表しています。ここで、点 $P$ と $R$ における $\alpha$ の接線は、ともに $\alpha$ と $PQ$ に接すると考えることができます。直線 $PR$ はこれらと交わりますが、これらと同じ角度で交わります。

以上が０除算算法による考察です。直線 $PR$ や $R$ における $\alpha$ の接線が点 $P$ に深く関連する図形であることには否定できない事実であると思われます。しかし、なぜそのような図形が登場するのかについては説明が現時点ではできません。いずれにせよ、この例だけでも、０除算算法の凄さがかいま見られる思いがします。