3個の合同な円を含む新潟の算額題

三浦教忠編の『所懸于三浦氏道場学板算題二百条』にある次の問題を考えます(下左図)。これは新潟の算額の問題としても提出されました。

問題. 正方形$ACDE$の辺$DE$上の点を$B$とし、三角形 $BCD$ の内接円の半径を $r$ とする。二つの半径 $r$ の円が互いに接し、一方は三角形 $ABE$ の2辺 $BE$ と $EA$ に接し、他方は2辺 $EA$ と $AB$ に接すれば、三角形 $ABC$ の内接円の半径は $2r$ であることを示せ。

問題の図において、 $B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし、三角形 $BCD$ の内接円の代わりに三角形 $BCH$ の内接円を、三角形 $BAE$ 内の2円の代わりに三角形 $BAH$ 内の2円を考えます(上右図)。

さらに、$xy$-平面において、2、3、4象限から二つの軸に接する半径$r$の円を、それぞれ、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$とします(下図)。$y$軸上の任意の点$B$から$\alpha$と$\gamma$に引いた接線で$y$軸と異なるものをそれぞれ$a$と$c$とします。ただし、$B$が$\alpha$と$y$軸との接点のときは$a$は$y$軸と一致するものとします。$c$についても同様です。問題は次の定理のように一般化されます([1])。

定理. 円 $\alpha$ の接線$a$に $\alpha$ と同じ側から接し、円 $\gamma$ の接線$c$に $\gamma$ と同じ側から接し、$\beta$と $\gamma$ の残りの共通外接線にも接する円を $\delta$ とする。 $\delta$ の半径は$2r$である。

点 $B$ の座標を $(0,t)$ とするとき、円 $\delta$ の中心の座標は $(\frac{-2r^{2}}{t},0)$ となります。点 $B$ が原点のときの図を考えましょう(下図)。

$t=0$ なら、 $\frac{-2r^{2}}{t}=0$ となり、円 $\delta$ の中心は原点と一致します。さらに、円 $\alpha$ の接線$a$と、円 $\gamma$ の接線$c$は$x$軸と重なります。すなわち、 $\delta$ と$a$, $c$は直交します。 $\tan 90^{\circ}=0$ なので、直交する図形は接すると解釈できることを以前に述べました。