アルベロスとアルキメデスの円

本ブログでは、齋藤三郎氏の提唱する0除算定義任意の数を0で割ると0を検証しています。

線分 $AB$ 上の1点を $C$ とし，$|BC|=2a$, $|CA|=2b$ とします。直径が $BC$, $CA$, $AB$ の半円を $AB$ の同じ側に作り，これらを $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ とします。この図形はアルベロスと呼ばれます。アルベロスとはギリシア語で靴職人の使うナイフを意味します。3個の半円で囲まれる図がこのナイフの形をしていたことから，このように呼ばれるようです。

f:id:hoinori:20220102135539j:plain — アルベロス

$AB$ の $C$ における垂線を軸と呼びます。アルベロスは最も有名な平面図形の1つで，様々な面白い性質があります。有名なものはアルキメデスの双子の円です。これは下図に示す $\alpha$ か $\beta$ に外接し， $\gamma$ に内接し，軸に接する赤い2つの円のことで，半径は次式で表されます。 $$ \frac{ab}{a+b}. \tag{1} $$

f:id:hoinori:20220102154111j:plain — アルキメデスの双子の円

(1)の半径を持つ円をアルキメデスの円と呼びます。

双子の円以外のアルキメデスの円の例を考えます。$C$ が原点で， $\alpha$ 上の点で $AB$ から最遠のものの座標が $(a,a)$ となる座標系で考えます。このとき，$C$ を通る2円で中心が $(ma,0)$ の円を $\alpha_m$ とし，$(-nb,0)$ の円を $\beta_{ n }$ とします。

円が $\alpha_m$ , $\beta_n$ , $\gamma$ に接するとき，接点がその円上で時計回りに $\alpha_m$ 上の点, $\beta_n$ 上の点, $\gamma$ 上の点となるように並んでいるとき，この円は $\alpha_m$ , $\beta_n$ , $\gamma$ に適切に接すると表現することにします。