算学小筌にあるアルベロスの問題

線分 $AB$ 上の点 $C$ について、 $|BC|=2a$ , $|CA|=2b$ とし、 $BC$ , $CA$ , $AB$ を直径とする円をそれぞれ $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ とします。 3円に囲まれた2つの合同な図形はそれぞれアルベロスと呼ばれます。ここでは算学小筌にあるアルベロスに関する次の問題を考えます。問題([1]). $\delta$ は $\alpha$ に外接し $\gamma$ に内接する半径 $d$ の円で、 $\varepsilon$ は $\beta$ に外接し $\gamma$ に内接する半径 $e$ の円である。この2円が外接するとき、次式が成り立つことを示せ。 $e=\dfrac{a(a+b)^{2}(b-d)}{(a+b)^{2}b-(a-b)^{2}d}.\tag1$

解答

先ずは、この問題の解答を与えます。点 $C$ が原点で点 $B$ の座標が $(2a,0)$ となる座標系で考えます。円 $\delta$ と $\varepsilon$ の中心の座標をそれぞれ、 $(x_d,y_d)$ , $(x_e,y_e)$ とします。 $\delta$ の中心から $\alpha$ と $\gamma$ の中心への距離の平方は

$(x_d − a)^{2} + y_d^{2} = (a + d)^{2},\tag2$

$(x_d − (a − b))^{2} + y_d^{2} = (a + b − d)^{2}\tag3$

となります。同様に $\varepsilon$ の中心から $\beta$ と $\gamma$ の中心への距離の平方は

$(x_e + b)2 + y_e^{2} = (b + e)^{2},\tag4$

$(x_e − (a − b))^{2} + y_e^{2} = (a + b − e)^{2}\tag5$

となります。 $\delta$ と $\varepsilon$ の中心の距離の平方は次式で与えられます。

$(x_d − x_e)^{2} + (y_d − y_e)^{2} = (d + e)^{2}.\tag6$

(2), (3), (4), (5), (6)から $x_d$ , $y_d$ , $x_e$ , $y_e$ を消去すると、次式が得られます。

$\dfrac{ab}{ed}-\left(\dfrac{a}{e}+\dfrac{b}{d}\right)+\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^{2}=0.\tag7$

これを $e$ について解き、(1)を得ます。

$(d,e)=(0,a)$ となる場合

直線を半径0の円,直交する図形を接する図形と考えることができることを以前に述べました。 hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com これらを考慮するとき、2円 $\delta$ と $\varepsilon$ として、(1)や(7)からどんなものが導かれるのかを考えます([2])。先ず(1)より次式を得ます。

$a-e=\dfrac{4a^{2}b}{(a+b)^{2}b-(a-b)^{2}d}d.\tag7$

これより、 $a=e$ から $d=0$ を得ます。よって、 $\alpha=\varepsilon$ で $\delta$ は点円か直線です。 $\delta$ は $\alpha$ と $\gamma$ に接するので、点 $B$ , 直線 $AB$ と $B$ における $\gamma$ の接線のいずれかと一致すると考えられます。これらを下図では $\delta_1$ , $\delta_2$ , $\delta_3$ で表しています。ただし、 $\delta$ は点または直線なので、問題文にある「内接する」と「外接する」は単に「接する」と読み替えています。

$(d,e)=(b,0)$ となる場合

同様に、 $(d,e)=(b,0)$ となる場合を考察します。この場合には、 $\beta=\delta$ で、 $\varepsilon$ は点円か直線です。 $\varepsilon$ は $\beta$ と $\gamma$ に接するので、点 $A$ , 直線 $AB$ と $A$ における $\gamma$ の接線のいずれかと一致すると考えられます。これらを下図では $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ , $\varepsilon_3$ で表しています。