線分
上の一点
について、直径が
, 
, の半円をの同じ側に作るとき、３半円の囲む図形をアルベロスと呼びます。これは以前にも考えました。$C$におけるの垂線でアルベロスを分割するとき、それらの内接円は合同であることが知られていますが（図1の赤円）、これらはアルキメデスが研究したと考えられており、アルキメデスの双子の円と呼ばれます。今回はアルベロスを一般化して、そこに複数の合同な円が存在することを示します。
図1. アルベロスとアルキメデスの双子の円
一般化したアルベロス
先ず、一般化したアルベロスを定義します。直線上の2点$P$, $Q$ に対して、$PQ$を直径とする半円を$(PQ)$で表します。このような半円はすべての同じ側にあるものとします。
, $(A_1B_1)$, $(A_2B_2)$ が同心のとき、線分上の点$C$に対して、5個の半円 $\alpha_1=(CB_1)$, $\beta_1=(CA_1)$, $\alpha_2=(CB_2)$, $\beta_2=(CA_2)$, $\gamma=(AB)$ からなる図を考えます（図2）。$A=A_1=A_2$ならアルベロスが得られます。
図2. 一般化したアルベロス
次の定理を得ました。
定理. 2円$\delta_a$と$\delta_b$が接することなく、次の条件を満たせば、合同である。
(i) 
と
は
に内接する。またはとはに外接する。
(ii) と
は内接し、と
も内接する。または、とは外接し、とも外接する。
(iii) と
は内接し、と
も内接する。または、とは外接し、とも外接する。
この定理を考えるとき、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{A_iB_i}$が同じ向きか否か、$\delta_a$と$\alpha_i$が内接か外接か、$\delta_a$とが内接か外接かで場合分けすると、全部で$2^{5}=32$通りの場合があります。ここでは、この定理の証明は省略し、合同な２円が得られる場合を図3から図7で示します。
図3.
図4.
図5.
図6.
図7.
直線となる場合
さて、図5と図7に注目してください。図5ではすべて外接の状態、図7ではすべて内接の状態です。ここで、2円との半径が増加する場合を考えると、2円が直線になる場合がありそうです（図8）。
, 
, 
, 
とするとき、, の半径 $r_a$, $r_b$は、図5については、次式で与えられます。
$$
r_a=\frac{ab(a_1+a_2)}{-aa_2+a_1(a_2-b)}=\frac{ab(b_1+b_2)}{-ab_1+b_1(b_1-b)}=r_b
$$
図7については、次式で与えられます。同じ分数式ですが、マイナスの符号が付きます。
$$
r_a=-\frac{ab(a_1+a_2)}{-aa_2+a_1(a_2-b)}=-\frac{ab(b_1+b_2)}{-ab_1+b_1(b_1-b)}=r_b
$$
さて、それでは2円が直線になる場合を考えましょう。以下の以前の投稿を思い出してください。
hoinori.hatenablog.com
すなわち、直線の円としての半径は0なので、
$$
\frac{ab(a_1+a_2)}{-aa_2+a_1(a_2-b)}=\frac{ab(b_1+b_2)}{-ab_1+b_1(b_1-b)}=０
$$
のときに２円は直線になります。分子は正なので、上式は次と同値です。
$$
-aa_2+a_1(a_2-b)=-ab_1+b_1(b_1-b)=０
$$
これを、
と
について解くと、次式が得られます。これより、
, 
, 
, 
を与えるとき、とが直線となる
と
を求めることができます。
$$
(a,b)=\left(\frac{a_1b_2(b_1-a_2)}{a_1b_1-a_2b_2},\frac{a_2b_1(a_1-b_2)}{a_1b_1-a_2b_2}\right)
$$
図8.
