次の和算の代表的な問題を考えます(下図)。
問題. 2円 $\alpha$ と $\beta$ が外接するとき，その1つの共通外接線 $t$ と2円のなす弧状三角形の 内接円を $\gamma$ とする。$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の半径を $a$, $b$, $c$ とするとき，次の関係が成り立つことを示せ。 $$ \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}. \tag{1} $$
この関係は次の命題を用いて導けます。これの証明は簡単ですので省略します。
命題. 半径 $p$, $q$ の2円が外接し，その1つの共通外接線に点 $P$, $Q$ で接するとき，次が成り立つ。 $$ |PQ|=2\sqrt{pq}. $$
この命題より，問題の図に関して次式を得ます。 $$ \sqrt{ab}=\sqrt{bc}+\sqrt{ca}. \tag{2} $$ この式の両辺を$\sqrt{abc}$で割れば，(1)が求まります。
さて，ここで，円 $\alpha$ とその接線 $t$ を固定し，円 $\beta$ を変化させ，$\beta$ の半径が0となる場合を考えます。$b=0$ の場合は，従来の数学では $\beta$ が点になる場合のみでしたが，$1/0=0$ を導入すると，さらに直線になる場合があります。直線の円としての半径が0であることは以下をご参照下さい。
先ずは$\beta$ が点になる場合を考えます(下図)。この場合は, $\gamma$ も点になり，$\beta$ と一致します。よって，$b=c=0$となり，(1) の左辺は $1/0=0$ より $0$, 右辺は $1/\sqrt{a}$ となり，成り立ちません。しかし，(2) の両辺はともに $0$ となり成り立ちます。
次に$\beta$ が直線になる場合を考えます(下図)。($b$ が限りなく増加する場合を考えるときの極限の図がこれに相当しますが，その場合の $b$ の値は $0$ であることに注意。) この場合には $\beta$ は $t$ に平行な直線となり，$a=c$ となります。一方 $\beta$ が直線であることから，$b=0$ です。よって，この場合には (1) は成り立ちますが，(2) は左辺は $0$, 右辺は $a$ となり成立しません。
以上の考察からわかることは，$1/0=0$ を導入すると，$\beta$ が直線になる場合などを考察できるようになりますが，すべての場合に通用する関係式というものはなく，場合に応じて使い分ける必要があるということです。
今回考えた $b=0$ の場合ですが，今回は簡単にわかる場合に的を絞って書きました。実は，ここで述べた以外にも幾つかの場合があります。
