三角形の2辺が平行になった場合の考察を数回に分けて行います。初回は平行な2辺の長さです。
直線 $AB$ 上の一点を原点とし，図のように$A$, $B$ の座標を $(p,0)$, $(q,0)$ とします。ただし，$p-q=c>0$ です。
$\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ が $x$ 軸となす角を $\theta_a$, $\theta_b$ とすれば，$AC$ と $BC$ は次式で表すことができます。
$$
AC: y\cos\theta_a=(x-p)\sin\theta_a, \ \ \ BC: y\cos\theta_b=(x-q)\sin\theta_b.
$$
この2つの方程式を解き，次の交点 $C$ の座標 $(x_c,y_c)$ を得ます。
\begin{equation}\label{EQ1}
(x_c,y_c)=
\left(
\frac{p\sin\theta_a\cos\theta_b-q\cos\theta_a\sin\theta_b}
{\sin(\theta_a-\theta_b)},
\frac{c\sin\theta_a\sin\theta_b}{\sin(\theta_a-\theta_b)}
\right). \tag{1}
\end{equation}
よって，$CB$, $CA$ の長さ $a$, $b$ は次式となります。
\begin{equation}\label{EQ3}
a=\sqrt{(x_c-q)^{2}+(y_c-0)^{2}}=\frac{c\sin\theta_b}{\sin(\theta_a-\theta_b)},
\end{equation}
\begin{equation}\label{EQ2}
b=\sqrt{(x_c-p)^{2}+(y_c-0)^{2}}=\frac{c\sin\theta_a}{\sin(\theta_a-\theta_b)}.
\end{equation}
これより，この2辺が平行なら $\theta_a-\theta_b=0$ で，0除算定義 $1/0=0$ より
$a=b=0$ を得ます。すなわり，三角形の平行な2辺の長さは0 です。
(1) より，交点は原点となります。原点は $BC$ 上の点なら，どこに有っても良いので，交点の位置はどこでも良いということになります。この部分のうまい解釈を検討中です。ご意見をお寄せいただければ幸いです。
