平行な辺を持つ三角形（平行な辺の長さ）で，平行な辺の交点は，平行でない辺上にあることを示しました。よって，その場合には，平行でない辺を底辺とするときの高さは 0 であることになります。これより，平行な辺を持つ三角形の面積は 0 となります。しかし，これでは記事としては物足りないですね。そこで，今回はヘロンの公式を用いて，平行な辺を持つ三角形の面積は 0 を示します。
前回までと同じ座標の設定を仮定します。 $ABC$ において，$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とおきます。面積 $S$ は次式で求まります。 $$ S=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} $$ この式に，平行な辺を持つ三角形（平行な辺の長さ）で得た $$ a=\frac{c\sin\theta_a}{\sin(\theta_a-\theta_b)},\ b=\frac{c\sin\theta_b}{\sin(\theta_a-\theta_b)} $$ を代入して整理すると，次式になります。 $$ S=c^{2}\frac{\sin\theta_a\sin\theta_b}{2\sin(\theta_a-\theta_b)} $$ これより，$\theta_a=\theta_b$ なら，$1/0=0$より，$S=0$ を得ます。
