線分 $AB$ 上の点 $C$ に対し，線分 $AC$ と $BC$ を底辺とする相似な二等辺三角形
と $EBC$ を考えます。ただし，2点 $D$ と $E$ は $AB$ の同じ側にあるものとします。ここで，$|AC|=2b$, $|BC|=2a$ とします。
このとき，
$F=AE \cap CD$, $G=BD \cap CE$ とすると，$FG$ は $AB$ に平行で，長さは二等辺三角形の形に依らず一定で，
$$|FG|=\dfrac{2ab}{a+b}$$
となります。
通常は，二等辺三角形の等辺が平行になったり，頂点が底辺上にきて三角形が線分に退化する場合は考えませんが，ここでは考えます（ここからが本番です）。
点 $C$ が原点で $B$ の座標が $(2a,0)$ となる座標系で考えます。ただし, $D$, $E$ の $y$ 座標は正とします。$\angle ECB=\theta$ とすると，直線 $CE$，$BD$ は次の方程式で表すことができます。 $$ y=x\tan\theta, \ \ y=-\frac{b\tan\theta}{2a+b}(x-2a). $$ これを解いて，点 $G$ の座標，$(\frac{ab}{a+b},\frac{ab}{a+b}\tan\theta)$ を得ます。同様に，$F$ の座標は $(\frac{-ab}{a+b},\frac{ab}{a+b}\tan\theta)$ となり，先に述べたことが証明されます。
等辺が平行なときは，$\theta=\frac{\pi}{2}$ で，頂点が底辺上にあるときは $\theta=0$ なので，これらの場合には，$F$, $G$ の座標は $$\left(-\frac{ab}{a+b},0\right),\ \ \left(\frac{ab}{a+b},0\right)$$ となります（ここで，$\tan\frac{\pi}{2}=0$ を使用していることに注意）。よって，これらの場合には $FG$ は $AB$ 上ということになります（下図）。
