通分約分を仮定する限り0除算はできないことを述べました。それでは通分約分を仮定しないとき，0除算はどうなるのか。答えは次の定理です。
高橋の一意性定理([1]). 実数の集合$\mathbb{R}$, $a,b,c,d\in\mathbb{R}$に対して，次を満たす写像 $f: \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ を考える。
(i) $f(a,b)f(c,d)=f(ac,bd)$,
(ii) $b\ne0$ なら $f(a,b)=\dfrac{a}{b}$.
このとき，$f(a,0)=0$である。
証明. $f(a,0)=\frac{2}{2}f(a,0)=f(2,2)f(a,0)=f(2a,0)=f(2,1)f(a,0)=2f(a,0)$ より，$f(a,0)=2f(a,0)$。よって，$f(a,0)=0$。証終
この定理の仮定には通分約分と同値な等式（前回の(1)）に相当する等式 $f(a,b)+f(c,d)=f(ad+bc,bd)$ が抜けていることに注意して下さい。すなわち，定理は通分約分の仮定を落としたときに，0で割る場合の演算結果を考えるなら，それは0しかないと述べています。
参考文献
[1] M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Yamane, New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$, Int. J. Appl. Math., 27(2) (2014) 191--198.
