今回も和算の幾何学の問題を取り上げます。先ずは下図で示す直線に接し，隣同士で接する $n$ 個の合同な円を考え，これを直線上の $n$ 個の合同な円と呼ぶことにします。図のような記号表示の場合には，$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_n$ を 「直線 $s$ 上の $n$ 個の合同な円である」とも言うことにします。
$\beta_1$, $\beta_2$, $\cdots$, $\beta_n$ が直線 $s$ 上の $n$ 個の合同な半径 $b$ の円で，$\alpha$ が半径 $a$ の円で $s$, $\beta_1$, $\beta_n$ に接するとき，これらのなす図形を $\mathcal A_n$ で表します（下図）。
$\mathcal A_n$に関する次の和算の幾何学の問題を考えます。
問題. $\mathcal A_n$ において次式が成り立つことを示せ。 $$ \frac{a}{b}=\left(\frac{n-1}{2}\right)^{2} \tag{1} $$
さて，本題は $n=1$の場合はどうなるのかです。それには，$\mathcal A_1$ がどんな図形なのかを理解する必要がありますね。そこで，$n=7,5,3,1$ の場合の $\mathcal A_n$ を赤で図示します。
いかがでしょうか？$\mathcal A_1$ は 円 $\alpha$, $\beta_1$ と直線 $s$ からなる図ですが，$\beta_1$ は直線になります。 余分なものを除いて $\mathcal A_1$ を図示したのが下図です。
そこで (1) に戻りますが，$\beta_1$ は直線なので，左辺の分母は $0$ になります。直線の半径が $0$ であることを以前述べました。
ですから，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{0}=0$ となり，(1) の左辺は $0$ になり，このときも (1) が成り立ちます。
