前回述べたように，ブラーマグプタは $0\div 0=0$ を述べました。しかし，$z\ne0$ のときに $z\div 0$ はどうなるのかについては言及しませんでした。今回はどのようにして彼がこの結論を得たのかを推論します。
彼は除算を乗算として考えました。例えば，次のような具合です。 $$z\div 2=z\cdot 0.5$$ $$z\div 3=z\cdot \frac{1}{3}$$ すなわち，ある数 $z$ を別のある数 $a$ で割る場合には，必ずその $a$ に対して1つの数があって（逆数ですね），その数を $z$ にかけてやれば $z\div a$ となるというわけであります。ですから，$z\div 0=z\cdot x$ となる数 $x$ が存在するはずです。しかし，彼は，この数 $x$ を特定できませんでした。なぜなら，特定できていれば，任意の数 $z$ について，$z\div 0=z\cdot x$ で任意の数 $z$ を0で割ったときの結果が明らかになったのに，彼はこれについては言及しなかったからです。しかし，0 を 0 で割る場合は $0\div 0=0\cdot x=0$ と $x$ がどんな数でもそれに 0 にかけるので，結果はいつも 0 になります。そんな訳で，彼は $0\div 0=0$ を述べたとさ。
以上が $0/0=0$ というブラーマグプタの考察に対する私の推察です。実際に彼がこのように考えたのかは，現時点ではわかりません。次の世界に私が遷移したときに彼に聞いてみたいものです。
補足 $a$ の逆数とは $a\cdot b=1$ となる数 $b$ のことではないか。しかし $0\cdot x=0$ であり，$0\cdot x=1$ とはならないではないかという反論がありそうなので，補足です。逆数を $a\cdot b=1$ を満たす2数とする定義は欠陥があるので，破棄して下さい。逆数の定義を $a=\dfrac{1}{b}$ を満たす2数と改善しましょう。すると，このブログのタイトルにあるように $0=1/0$ なので，0の逆数は $0$ となります。従来の $0$ 以外の数の逆数はこの定義でも保たれます。興味のある方は以下の記事も参考にして下さい。 hoinori.hatenablog.com
