今回も和算の幾何学の問題を取り上げます。先ずは下図で示す直線に接し，隣同士で接する $n$ 個の合同な円を考え，これを直線上の $n$ 個の合同な円と呼ぶことにします。図のような記号表示の場合には，$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_n$ を 「…

以前に直線の半径が0であることを述べました。 hoinori.hatenablog.com 今回はこれを用いる例を述べます。事の発端は角田利勝による次の図に関する算額題です[1]。 これは Sangaku Journal of Mathematics という和算の幾何学に焦点をあてた雑誌に2017年に掲…

Wikipedia の0除算に関する記述が少し変わったようです。0除算に関して動きがあったと認識できますね。以下に冒頭の部分をメモしておきます。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E9%99%A4%E7%AE%97 ---引用開始----------------------------…

前回述べたように，ブラーマグプタは $0\div 0=0$ を述べました。しかし，$z\ne0$ のときに $z\div 0$ はどうなるのかについては言及しませんでした。今回はどのようにして彼がこの結論を得たのかを推論します。 彼は除算を乗算として考えました。例えば，次…

ブラーマグプタ(Brahmagupta) はインドの数学者，天文学者として有名です。彼は 628年に『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』(Brāhmasphuṭasiddhānta) というタイトルの数学と天文学の書物を著しました。彼はこの中で $0/0=0$ であると述べています。しかし，…

International Journal of Division by Zero Calculus の創刊号が本日（2021年7月5日）発刊となりました。Open access journal なので，以下のリンクから自由にダウンロードして閲覧できます。創刊号は100ページ程のものですが，数学の歴史における１つの事…

実数で何かを表現することは多いです。例えば，起動中のPCに対して，何のオペレーションもない場合に，PCをスリープ状態にする設定を考えましょう。１時間後にスリープ状態になるように設定するには 1（時間単位）や 60（分単位）を設定値として使います。同…

$1/0=0$ にはいろんな人が到達していたようです。Patrick Suppes は1957 年に『Introduction to Logic』という書籍を著しています。彼はこの中で，ロジカルに詰めると $1/0=0$ が出てくることを臭わす記述をしながら，そこで止めています。Proof asistant の…

定理証明支援システムと呼ばれるソフトウェアがあります。呼び方はいろいろあって，証明支援系とか証明支援言語などとも呼ばれています。西側では簡単に Proof assistant と呼ばれていて，これが一番わかりやすいかもしれません。 中身は命題を記述できる言…

はてなブログに「完全無欠で荒唐無稽な夢」というタイトルのサイトがあります。独自の考察をどんどん展開されていて，もの凄いサイトです。ここで，最近次式の解を求めるという問題が提起されました。 $$ x^{x+y}+y^{x+y}=1\tag{1} $$ hyperion64.hatenadiar…

分母が0の分数では約分通分ができないことを以前に述べました。これを実際に示す例として次の恒等式を考えます。 $$ 1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}\tag{1} $$ (1) は例えば $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ の時は成立しませんね。左辺は１，右辺は０…

0除算算法の国際雑誌創刊を記念して再生核研究所声明620が出されましたので以下に転載します。

0除算不可能説を唱えるサイトはいろいろありますが，コメントができないようになっているところが多いです。そんな中で以下のサイトはコメントできるので，良心的です。 quizknock.com そこで，4月の20日頃ですが，理由を付けてサイトの記述内容は誤りである…

0除算 $\dfrac{1}{0}=0$ を導入すると，以下のような論理展開になります。 $$\frac{b}{a}=0\Leftrightarrow a=0\ \ or\ \ b=0\tag{1}$$ これに対して，現代数学では以下の通りです。 $$\frac{b}{a}=0\Leftrightarrow b=0\tag{2}$$ (1)の対称的な論理展開に比…

0除算 1/0=0 とその一般化である0除算算法の研究に焦点をあてた国際雑誌が創刊されます。 International Journal of Division by Zero Calculus がそれです。0除算と0除算算法の理論展開を牽引してきた齋藤三郎氏が主幹編集長で，urlは以下の通り。創刊号は…

以下の記事に加筆しました。実際の Laurent 展開の式を記述しました。 hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com

数学において，記号∞を使う際の問題点を述べます。次の2式を考えます。 $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=7\tag{1} $$ $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\tag{2} $$ (1)の右辺の7は数です。しかし，(2)の右辺の$\infty$は数ではありません。ですから，(2)の…

0除算を否定する論法の多くが，次のような推論をしています。 既存の数学ルールに照らし合わせると，０除算を考えた場合には不具合が生じることから，０除算不可能である。 これは，既存のルールと新規な概念の2つを仮定して矛盾を導き，新規な概念のみを否…

「りんごを0個あげる」の意味は，リンゴをあげないという否定を意味します。「庭には木が0個ある」とは，庭に木が存在しないことを意味します。このように0には他の数に比べて広い意味を持っています。 このような観点から前回に考えた直線の式 $$ \frac{x}{…

直交座標形で直線を表すものに以下の式があります。 $$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\tag{1} $$ これは，$(a,0)$ と $(0,b)$ を通る直線を表します（左図）。 ただし，従来の数学では, $a=0$ と $b=0$ の場合は考察できませんでした。しかし，$1/0=0$ を採用す…

平行な2辺を持つ三角形に対して，次式で表される余弦定理を考えます。 $$ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C, \ \ \ \ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A \tag{1} $$ これらが成り立てば，長さ $a$ と $b$ の辺が平行な場合は，$a=b=0$ から $c=0$ となるので，これら…

平行な2辺を持つ三角形について，次式で表される正弦定理が成り立つのか考えます。 $$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R $$ 長さ $a$ と $b$ の辺が平行なら，平行な辺を持つ三角形（平行な辺の長さ）で示したように，$a=b=0$ となり…

平行な辺を持つ三角形（平行な辺の長さ）で，平行な辺の交点は，平行でない辺上にあることを示しました。よって，その場合には，平行でない辺を底辺とするときの高さは 0 であることになります。これより，平行な辺を持つ三角形の面積は 0 となります。しか…

今回は平行な辺をもつ三角形の傍接円について考えます。座標の設定は前回までと同じです。 辺 $CA$ に $B$ の反対側から接する傍接円の半径を考えます。この円の中心は次式で表される2直線の交点です。 $$ y=\tan\frac{\theta_a}{2} (x-p), \ \ y=\tan\frac{…

今回は平行な2辺を持つ三角形においても，次の恒等式が成り立つことを示します。 $$R=\frac{r}{\cos A+\cos B+\cos C-1}$$ ただし，$R$ と $r$ は外接円の半径と内接円の半径です。座標の設定は前回，前々回と同じです。 $\theta_a=\theta_b$ と仮定します。…

今回は平行な2辺を持つ三角形の外接円の半径を考えます。 前回と同じ座標の設定で考えます。 外接円の半径を $R$ とします。次の恒等式を使います。 $$ R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}. $$ この式に前回得た次の2式を代入します。 $$ a…

三角形の2辺が平行になった場合の考察を数回に分けて行います。初回は平行な2辺の長さです。 直線 $AB$ 上の一点を原点とし，図のように$A$, $B$ の座標を $(p,0)$, $(q,0)$ とします。ただし，$p-q=c>0$ です。 $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC…

q.hatena.ne.jp 解答期限を過ぎてしまっている質問なので，ここに解答を述べます。 解答 現在の数学に欠陥があるからです。 嘘みたいな解答ですが，このブログ記事を閲覧して下さった方にはこのように解答せざるを得ないことを理解していただけると思います…

円を用いた反転という変換があります。平面上の円 $C$ の中心を$O$, 半径を $r$ とします。ある点 $P$ と，$O$ を起点とする半直線 $OP$ 上の点で， $$|OP|\cdot |OQ|=r^{2}\tag{1}$$ を満たす点 $Q$ に関して，写像 $P\rightarrow Q$ を円 $C$ に関する反転…

0除算不可能説を説く論説では，分割を用いて論旨を展開することが多いです。しかし一般の体で考えれば，除算は逆元の乗算です。実数体で考えれば， $$a\div 2=a\times \frac{1}{2}$$ $$a\div \frac{7}{13}=a\times \frac{13}{7}$$ といった具合です。そこで…