定理証明支援システムと呼ばれるソフトウェアがあります。呼び方はいろいろあって，証明支援系とか証明支援言語などとも呼ばれています。西側では簡単に Proof assistant と呼ばれていて，これが一番わかりやすいかもしれません。 中身は命題を記述できる言…

はてなブログに「完全無欠で荒唐無稽な夢」というタイトルのサイトがあります。独自の考察をどんどん展開されていて，もの凄いサイトです。ここで，最近次式の解を求めるという問題が提起されました。 $$ x^{x+y}+y^{x+y}=1\tag{1} $$ hyperion64.hatenadiar…

分母が0の分数では約分通分ができないことを以前に述べました。これを実際に示す例として次の恒等式を考えます。 $$ 1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}\tag{1} $$ (1) は例えば $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ の時は成立しませんね。左辺は１，右辺は０…

0除算算法の国際雑誌創刊を記念して再生核研究所声明620が出されましたので以下に転載します。

0除算不可能説を唱えるサイトはいろいろありますが，コメントができないようになっているところが多いです。そんな中で以下のサイトはコメントできるので，良心的です。 quizknock.com そこで，4月の20日頃ですが，理由を付けてサイトの記述内容は誤りである…

0除算 $\dfrac{1}{0}=0$ を導入すると，以下のような論理展開になります。 $$\frac{b}{a}=0\Leftrightarrow a=0\ \ or\ \ b=0\tag{1}$$ これに対して，現代数学では以下の通りです。 $$\frac{b}{a}=0\Leftrightarrow b=0\tag{2}$$ (1)の対称的な論理展開に比…

0除算 1/0=0 とその一般化である0除算算法の研究に焦点をあてた国際雑誌が創刊されます。 International Journal of Division by Zero Calculus がそれです。0除算と0除算算法の理論展開を牽引してきた齋藤三郎氏が主幹編集長で，urlは以下の通り。創刊号は…

以下の記事に加筆しました。実際の Laurent 展開の式を記述しました。 hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com hoinori.hatenablog.com

数学において，記号∞を使う際の問題点を述べます。次の2式を考えます。 $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=7\tag{1} $$ $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\tag{2} $$ (1)の右辺の7は数です。しかし，(2)の右辺の$\infty$は数ではありません。ですから，(2)の…

0除算を否定する論法の多くが，次のような推論をしています。 既存の数学ルールに照らし合わせると，０除算を考えた場合には不具合が生じることから，０除算不可能である。 これは，既存のルールと新規な概念の2つを仮定して矛盾を導き，新規な概念のみを否…

「りんごを0個あげる」の意味は，リンゴをあげないという否定を意味します。「庭には木が0個ある」とは，庭に木が存在しないことを意味します。このように0には他の数に比べて広い意味を持っています。 このような観点から前回に考えた直線の式 $$ \frac{x}{…

直交座標形で直線を表すものに以下の式があります。 $$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\tag{1} $$ これは，$(a,0)$ と $(0,b)$ を通る直線を表します（左図）。 ただし，従来の数学では, $a=0$ と $b=0$ の場合は考察できませんでした。しかし，$1/0=0$ を採用す…

平行な2辺を持つ三角形に対して，次式で表される余弦定理を考えます。 $$ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C, \ \ \ \ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A \tag{1} $$ これらが成り立てば，長さ $a$ と $b$ の辺が平行な場合は，$a=b=0$ から $c=0$ となるので，これら…

平行な2辺を持つ三角形について，次式で表される正弦定理が成り立つのか考えます。 $$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R $$ 長さ $a$ と $b$ の辺が平行なら，平行な辺を持つ三角形（平行な辺の長さ）で示したように，$a=b=0$ となり…

平行な辺を持つ三角形（平行な辺の長さ）で，平行な辺の交点は，平行でない辺上にあることを示しました。よって，その場合には，平行でない辺を底辺とするときの高さは 0 であることになります。これより，平行な辺を持つ三角形の面積は 0 となります。しか…

今回は平行な辺をもつ三角形の傍接円について考えます。座標の設定は前回までと同じです。 辺 $CA$ に $B$ の反対側から接する傍接円の半径を考えます。この円の中心は次式で表される2直線の交点です。 $$ y=\tan\frac{\theta_a}{2} (x-p), \ \ y=\tan\frac{…

今回は平行な2辺を持つ三角形においても，次の恒等式が成り立つことを示します。 $$R=\frac{r}{\cos A+\cos B+\cos C-1}$$ ただし，$R$ と $r$ は外接円の半径と内接円の半径です。座標の設定は前回，前々回と同じです。 $\theta_a=\theta_b$ と仮定します。…

今回は平行な2辺を持つ三角形の外接円の半径を考えます。 前回と同じ座標の設定で考えます。 外接円の半径を $R$ とします。次の恒等式を使います。 $$ R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}. $$ この式に前回得た次の2式を代入します。 $$ a…

三角形の2辺が平行になった場合の考察を数回に分けて行います。初回は平行な2辺の長さです。 直線 $AB$ 上の一点を原点とし，図のように$A$, $B$ の座標を $(p,0)$, $(q,0)$ とします。ただし，$p-q=c>0$ です。 $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC…

q.hatena.ne.jp 解答期限を過ぎてしまっている質問なので，ここに解答を述べます。 解答 現在の数学に欠陥があるからです。 嘘みたいな解答ですが，このブログ記事を閲覧して下さった方にはこのように解答せざるを得ないことを理解していただけると思います…

円を用いた反転という変換があります。平面上の円 $C$ の中心を$O$, 半径を $r$ とします。ある点 $P$ と，$O$ を起点とする半直線 $OP$ 上の点で， $$|OP|\cdot |OQ|=r^{2}\tag{1}$$ を満たす点 $Q$ に関して，写像 $P\rightarrow Q$ を円 $C$ に関する反転…

0除算不可能説を説く論説では，分割を用いて論旨を展開することが多いです。しかし一般の体で考えれば，除算は逆元の乗算です。実数体で考えれば， $$a\div 2=a\times \frac{1}{2}$$ $$a\div \frac{7}{13}=a\times \frac{13}{7}$$ といった具合です。そこで…

0除算導入により、$\tan90^{\circ}=0$ を得ました。その場合に、正接の加法定理の式 $$ \tan(\theta_1+\theta_2)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}\tag{1} $$ について考えます。例えば，$\theta_1=90^{\circ}$, $\theta_2=60^…

Wikipedia には結構お世話になっています。しかし，ポリティクスな観点からみると，かなり偏っているという印象を持つ記事もありますね。それはさておき，ここにも0除算解説があります。その中身はざっくりと言えば，現在の数学の作法の一部に沿わないから０…

正0角形を5回にわたり考察した結果をまとめます。 正$n$角形の内角を表す式において，$n=0$ とすると，$\pi$ が求まりました。これを正0角形の内角は $\pi$ であると 述べることにします。その他についても同様です。以下を得ました。 正0角形の内角は $\pi$…

今回は正0角形の内接円の半径を考えます。 正$n$角形の外接円の半径を$a$とするとき，その内接円の半径は次式で表されます。 $$ a\cos\frac{\pi}{n} $$ よって0 除算定義では正0角形の内接円の半径は $$ a\cos\frac{n}{0}=a\cos 0=a $$ となります。次に，同…

今回は周長です。周長と外接円の半径の比を前々回に考えましたが，今回は周長のみを単独で考えます。 正$n$角形の外接円の半径を $a$ とするとき，その周長は次式で表されることを前々回に述べました。 $$ 2an\sin\frac{\pi}{n} $$ ですから，正0角形の周長…

今回は正0角形の面積を求めます。 先ず，外接円の半径が $a$ である正$n$角形の面積を考えます。次式になります。 $$ n\cdot 2\cdot\frac{1}{2}a\sin\frac{\pi}{n}\cdot a\cos\frac{\pi}{n}=\frac{a^{2}n}{2}\sin\frac{2\pi}{n} $$ よって，0除算では面積は0…

今回は正$n$角形の周長と外接円の半径の比を考察します。 正$n$角形の外接円の半径を $a$ とすると，周長は次式になります。 $$ 2na\sin\frac{\pi}{n} $$ これより，次式を得ます。 $$ \frac{周長}{外接円の半径}=2n\sin\frac{\pi}{n} $$ $n=0$ のとき，この…

正0角形を0除算（1/0=0）と0除算算法によりに数回にわけて考察してゆきます。今回は内角です。 正$n$角形の内角を $\theta$ とします。正$n$角形を中心と頂点を結ぶ線分で$n$個の二等辺三角形に分割することより $n\theta+2\pi=n\pi$ を得ます。よって，正$n…